Довольно частая проблема. Вы запускаете Skype, но при запуске программа появляется в трее и сразу же закрывается.
Этапы решения:
1. Если у вас старая версия программы, удалите её и установите новую
2. Очистите временные файлы с помощью специальных утилит. Например, CCleaner
3. Удалите файл shared.xml из директории c:\users\<имя твоего юзера>\AppData\Roaming\Skype
4. Если не помогло очистите директорию полностью